Analiza matematică este definită drept acea ramură a matematicii care studiază funcțiile, limitele, derivatele și aplicațiile lor (cuvânt derivat din franceză analyse), precum și operatori de funcții, spații și categorii algebrice (v. teoria categoriilor--Category theory) de spații vectoriale de funcții matematice.
Deasemenea, cuvântul analiză descrie doar în mod foarte general metode științifice de cercetare, inclusiv filozofice, logice, lingvistice/literare, etc., care se bazează pe studiul sistematic al fiecărui element în parte mai exact, examinarea amănunțită a unei probleme, sau pur și simplu un mod dual al sintezei. In logica pre-modernă și modernă cuvântul „analiză” a avut, și are, sensul de „logică formală” (e.g., „analytics” ).
Mai specific--dar într-o descriere totuși generală-- putem spune și că analiza matematică se ocupă, în general, cu studiul entităților matematice (în special, funcții si operatori de funcții) din punct de vedere al variației lor, sau al unor proprietăți generale, sau specifice, de regularitate.
Analiza matematică este împărțită astăzi în următoarele sub-domenii sau „capitole”, (care adesea se dezvoltă oarecum (adică aparent) în mod independent):
* Analiza reală se ocupă cu studiul riguros al derivatelor și integralelor funcțiilor cu valori reale. Aceasta include studiul limitelor, seriilor și teoria măsurii.
* Analiza funcțională studiază spații vectoriale de funcții matematice, operatori de funcții, și introduce concepte ca spațiile Banach, spațiile Hilbert, serii și limite de spatii Hilbert.
* Analiza algebrică studiaza funcțiile matematice,spații de funcții matematice, geometrii necommutative de operatori de funcții, spații anabeliene Grothendieck, categorii și toposuri/topoi de spatii de funcții dpdv algebric și respectiv categorial (v. Category theory).
* Analiza numerică (v. detalii la ICTP = Institutul de Calcul „Tiberiu Popovici” (al Academiei Române)-TP Institute of Numerical Analysis, Cluj) studiază metode de calcul--adesea realizate pe calculatoare digitale-- a funcțiilor importante în aplicații fizice, de inginerie, șamd, precum și algoritme iterative pentru calcule numerice, cum ar fi: metode Monte-Carlo, metode Runge-Kutta, algorithmul Newton și algoritme quasi-Newton pentru regresiuni neliniare, fitare de curbe, șamd.
* Analiza complexă studiază serii de numere complexe, funcții cu argumente complexe, etc
